Berechnung
In der Einführung zum Bau von Kleinstmodellen
wurde bereits darauf hingewiesen, dass kleine Propeller nur einen sehr geringen
Wirkungsgrad haben. Dies soll in dieser Analyse erklärt und etwas untermauert
werden. Zuerst soll der Standschub eines Propellers berechnet werden. Die Ableitung
mit dem Impulssatz führt zu folgendem Zusammenhang zwischen Schub und Leistung.
N = 0,714*S^1,5/d, wobei S in g und d in m einzusetzen ist. Die Formel gilt
nur für Luft. Die Strahlgeschwindigkeit nach dem Austritt aus dem Propeller
ist w = 0,143*S^0,5/d. In der Propellerebene selbst ist die Geschwindigkeit
nur halb so groß. Wir brauchen sie, um den Anstellwinkel der Blattelemente
zu ermitteln.
Diese Ableitung setzt voraus, dass über der ganzen Propellerebene die gleiche
Schubdichte herrscht. Das bedeutet, dass der Schub über den Radius aufgetragen
nach außen hin linear zunimmt. Man hat eine Dreiecksverteilung. Das stimmt
in Wirklichkeit nicht. Im Nabenbereich ist die Schubdichte null. An der Propellerspitze
tritt ein Druckausgleich zwischen Ober und Unterseite auf. Dadurch erhöht
sich die Leistung.
Bisher ist noch keine Aussage über einen realen Propeller gemacht worden.
Nehmen wir einen Zweiblattpropeller mit konstanter Breite und konstantem Anströmwinkel.
Die Geschwindigkeit steigt linear mit dem Radius. Das bedeutet, dass die Schubverteilung
quadratisch zunimmt, weil der Druck proportional v² ist.
Der Propeller würde jetzt zwar bei der besten Gleitzahl laufen, aber seine
Schubverteilung ist schlecht. Um das auszugleichen, muss man die Breite anpassen.
Wenn sie außen 2mm ist, wird sie bei 50% Radius 4mm, bei 25% schon 8mm
usw. Das geht natürlich auch nicht bis hin zur Nabe. Also muss man den
Nabenbereich für den Schub vergessen.
Nehmen wir mal an, wir würden die Blätter nur von außen bis
zur Hälfte ausbilden. Dann geht ein Viertel des Schubs verloren. Der äußere
Ring soll den Schub ausgleichen. Man muss dort den Schub um 33% erhöhen.
Wegen des Exponents von 1,5 erhöht sich die theoretische Leistung eines
kompletten idealen Propellers um 54%. Da die innere Fläche wegfällt,
wird die Leistung gegenüber dem ursprünglichen ganzen Propeller um
15,5% steigen. Er hat also nur einen maximalen Wirkungsgrad von 86,6%. Hierin
sind noch keine Profilverluste enthalten!
Unsere Blätter sind ja nichts anderes als deformierte, besser gesagt angepasste
Tragflächen. Wenn unser Profil eine Gleitzahl von 10 hat, wird der Widerstand
an jedem Element 0,1*S Wir haben eine lineare Auftriebsverteilung. Also greift
der Widerstand in unserem Beispiel bei 87,5% des Radius an. Das Drehmoment infolge
des Profils ist also M = S/GZ*0,875*r und die Leistung N = M*pi()*n/30.
Machen wir jetzt mal ein Beispiel. Ein Rotor soll bei 100mm Durchmesser 2g Schub
= 0,02N erzeugen. Dann ist die theoretische Mindestleistung 20mW. Wir lassen
den Innenbereich frei. Dann brauchen wir 23,3mW. Bei einer Gleitzahl von 5 wird
das Moment 175µNm. Jetzt brauchen wir noch eine Aussage über die
Drehzahl. Die bekommen wir über den Schub. S = ca*q*F. ca ist der Auftriebsbeiwert.
Er liegt bei 0,5. q ist der Staudruck. Die Propellerfläche ist 150mm².
Der Staudruck wird q = S/ca/F = 0,02/0,5/150e-6 = 267N/m². Da q = rho/2*v²
ist, kann man die Geschwindigkeit berechnen. Rho ist die Luftdichte 1,25N/m³.
v = 20,7m/s. Der Schub greift bei 0,875*Radius an. Also wird n = v/0,875/r*30/pi()
= 4509. Damit bekommen wir die Leistung, die die Rotorblätter benötigen:
N = 175e-6*pi()*n/30 = 82,6mW. Insgesamt braucht dieser Rotor 105,6mW. Sein
Wirkungsgrad ist also nur 20/ 105,6 = 18,9%! Ist die Gleitzahl 10, wird der
Wirkungsgrad schon 31% bei 20 sogar 45,5%.
Wo liegen nun die Gleitzahlen? Dazu muss man etwas über die Profile sagen.
Es gibt zwei Strömungsarten, laminar und turbulent. Alle Großmodelle
und Flugzeuge werden turbulent umströmt, unsere Modelle aber laminar. Dadurch
ist der Auftriebswert nach oben auf etwa 0,5 begrenzt. Darüber löst
die Strömung ab und der Widerstand steigt sehr schnell an. Für den
Widerstand ist die Oberflächenreibung maßgeblich. Hier spielt das
Produkt v*t eine große Rolle, wobei v die Fluggeschwindigkeit und t die
umströmte Länge ist. In unserem Beispiel ist v = 20,7m/s und t = 0,003m.
Der Oberflächenreibwert ist cf = 0,00515/(v*t)^0,5 = 0,0207. Ein dünnes
Profil wird auf beiden Seiten umströmt. Außerdem gibt es noch Druckverluste
an der Hinterkante, so dass mindestens das 2,2fache von cf als Profilbeiwert
anzusetzen ist, also 0,046. Die Gleitzahl GZ = ca/cw = 0,5 /0,046 = 10,9.
Wie man erkennt, sind Wirkungsgrade um 30% durchaus realistisch. Wenn man die
Analyse im Detail verfolgt hat, wird man auch feststellen, dass es sehr schwierig
ist, deutlich höhere Wirkungsgrade zu erreichen, insbesondere bei schwach
belasteten Propellern. Außerdem darf man nicht vergessen, dass in unserem
Beispiel die beiden kurzen Blätter noch an die Nabe angeschlossen werden
müssen, was auch wieder Widerstand erzeugt.
Um den Einfluss der Schubbelastung zu erkennen, soll jetzt mit dem gleichen
Propeller der 4fache Schub also 8g erzeugt werden. Dann steigt die Idealleistung
auf das 8fache = 160mW. Die Drehzahl verdoppelt sich, ebenso die Geschwindigkeit.
Der Profilbeiwert wird um Wurzel 2 kleiner und die Gleitzahl um Wurzel 2 größer:
GZ = 15,4. Damit wird die Profilleistung 215mW und der Wirkungsgrad 40%.
Jetzt wird der Propeller geometrisch ähnlich um den Faktor 2 vergrößert.
Er hat also 20cm Durchmesser. Man erhält die 4fache Fläche und damit
32g Schub. Die Idealleistung steigt um den Faktor 4 auf 640mW. Die Geschwindigkeit
bleibt konstant, d.h. die Drehzahl wird halbiert, liegt also bei 4500. Die Reynoldszahl
verdoppelt sich, die Gleitzahl erhöht sich nochmals um Wurzel 2. Sie wird
21,8. Der Wirkungsgrad liegt jetzt schon bei 61%.
Bisher wurde noch keine Aussage über den Anstellwinkel des Profils gemacht.
Der Winkel ergibt sich aus dem Tangens von der Geschwindigkeit in der Propellerebene
und der Umfangsgeschwindigkeit. Im ersten Beispiel mit 2g Schub beträgt
die Geschwindigkeit 1,0m/s und die Umfangsgeschwindigkeit 20,7m/s bei 0,875*Radius.
An der Spitze beträgt der Anstellwinkel 2,4°, bei 50% Radius 4,8°.
Er ist also ziemlich klein. Die käuflichen Propeller haben meistens höhere
Anstellwinkel. Die Strömung löst ab und der Wirkungsgrad sinkt.
Im Flug werden die Anstellwinkel größer, weil die Fluggeschwindigkeit
sich zur induzierten Geschwindigkeit addiert. Statt 1m/s hat man jetzt 4 bis
5m/s. Entsprechend größer sind die Anstellwinkel.
Man sieht, dass man einen Propeller nur für einen Punkt gut auslegen kann.
Bei jedem anderen Arbeitspunkt hat er höhere Verluste. Man sollte auf jeden
Fall zwischen Rotoren für Hubschrauber und üblichen Propellern unterscheiden.
Allerdings, je schlechter der Propeller von Haus aus ist, um so unempfindlicher
ist er gegenüber Abweichungen vom Arbeitspunkt.
Noch ein Hinweis. Wir haben i.a. keinen Windkanal greifbar, können also
nicht das Verhalten im Flug testen. Wir sind auf Standschubmessungen angewiesen.
Die so ermittelten Werte sind nicht einfach auf den Flugfall zu übertragen.
Der Propellerwirkungsgrad wird besser, die Drehzahl steigt und das Getriebe
kann nicht mehr passen. Da bleibt nur das Erproben im Flug.
Bau kleiner Propeller
Es gibt Holzpropeller ab 72mm bei Ackus Modellbau (www.ackus.de). Sie wurden
für Gasmotore konzipiert. Dann gibt es noch einen 76mm Prop bei Graupner
für die Cox Verbrennungsmotore und einen 130mm Plastikprop bei Conrad.
Bei WES kann man einen relativ guten aber teuren (25€!)160mm CFK Prop kaufen.
Was fehlt, sind kleine Props aus CFK. Plastikprops sind zwar relativ preiswert
aber schwer. Man kann auch Balsaprops bauen. Aber sie überleben keine Baulandung.
Leichte und stabile Props müssen aus CFK sein.
Als erstes braucht man eine Form. Ich habe mir für meine 50mm Props eine
Form aus Holz frei Hand geschnitzt und geschliffen. Die Ergebnisse sind sehr
ermutigend. Am besten ist es natürlich, wenn man sich eine Metallform fräsen
kann. Propeller können von mir bei Bedarf ausgelegt werden.
Man geht nun folgendermaßen vor. Die Form wird mit Trennlack besprüht.
Dann schneidet man sich 2 Lagen aus 90g/m² CFK Gewebe großzügig
bemessen aus. Sie werden mit 5min Kleber eingeschmiert und auf die Form gelegt.
Darauf kommt eine mit Trennlack besprühte Folie. Statt Vakuum verwende
ich eine dicke Schicht Moosgummi und spanne das Ganze in einen Schraubstock.
Der Gummi umschließt die Form sehr gut. Nach dem Aushärten (Nachhärten
im Backofen bei 100°C) wird entformt und die Kontur mit einer Schere grob
zugeschnitten. Der Rest ist Feinarbeit mit der Schleifscheibe an der Kleinbohrmaschine
bei angepassten Drehzahlen. Meine Form ist eine Positivform. Es wird also fast
nur die Oberseite bearbeitet. Sie ist zwar nicht so schön wie die Unterseite.
Aber das spielt bei Laminarströmung nur eine untergeordnete Rolle.
Diese Propeller habe ich im Durchmesser an die Motore angepasst. Von 30 bis
50mm merkt man kaum einen Unterschied in der Güte. Ein solcher Prop wiegt
gerade mal 100mg einschließlich Nabe. Diese besteht aus einem eingeklebten
Röhrchen mit passendem Durchmesser. Befestigt werden die kleinen Props
für Testzwecke mit einer M1 oder M0,6 Verschraubung. Sonst werden sie mit
5min Epoxy aufgeklebt, was man zur Not durch Erhitzen wieder lösen kann.
Größere Props (76mm) brauchen im Nabenbereich eine Aufdickung. Man
kann ein kleines Stückchen Balsa einlegen und darauf ein CFK Gewebestück.
Das Ganze wird dann in einem Arbeitsgang ausgehärtet. Hier stehen dem geehrten
Bastler alle Möglichkeiten offen.
Größere Props habe ich auf den Holzpropellern abgeformt. Aber sie
haben eine relativ große Steigung. Es wäre gut, wenn jemand neue
Formen fräsen könnte. Bei sehr großen Propellern empfehle ich
zwischen die beiden Gewebelagen ein 0,3 oder 0,5mm Balsabrettchen einzulegen.
Das erhöht die Steifigkeit enorm.
Ich habe Props ab 17 bis 160mm in Stufen <10mm getestet. Davon waren aber
nur wenige aus CFK, d.h. dünn, leicht und steif.
Autor: Helmut Schweig